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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 21 • Geometria
Cada um dos dois triângulos retângulos isósceles congruentes ao lado tem um quadrado inscrito. O quadrado com a letra P tem área igual a 45. Qual é a área do quadrado com a letra R? 
A 35
B 40
C 45
D 50
E 60
Resolução
Os dois grandes triângulos retângulos isósceles são congruentes, portanto, possuem a mesma área total. Analisando o primeiro triângulo com o quadrado $P$ (de lado $p$), notamos que ele forma triângulos menores também isósceles nas pontas. Isso faz com que os catetos do triângulo maior meçam $p + p = 2p$. A área desse triângulo é ${\large \frac{2p \cdot 2p}{2}} = 2p^2$. Como a área de $P$ é $p^2 = 45$, a área do triângulo maior é $2 \cdot 45 = 90$.
No segundo triângulo, o quadrado ${R}$ (de área $r^2$ e lado $r$) está apoiado sobre a hipotenusa. Os triângulos formados nas extremidades também são retângulos isósceles com catetos medindo $r$. Assim, a hipotenusa total do triângulo maior mede $r + r + r = 3r$. A área de um triângulo retângulo isósceles em função de sua hipotenusa $H$ é $\large \frac{H^2}{4}$, resultando em uma área de $\large \frac{(3r)^2}{4} = \frac{9r^2}{4}$.
Igualando a área das duas figuras idênticas, temos a equação:$$\frac{9r^2}{4} = 90$$$$9r^2 = 360$$$$r^2 = \boxed{40}$$Como $r^2$ representa matematicamente a área da figura, a área do quadrado com a letra ${R}$ é $\boxed{40}$.
No segundo triângulo, o quadrado ${R}$ (de área $r^2$ e lado $r$) está apoiado sobre a hipotenusa. Os triângulos formados nas extremidades também são retângulos isósceles com catetos medindo $r$. Assim, a hipotenusa total do triângulo maior mede $r + r + r = 3r$. A área de um triângulo retângulo isósceles em função de sua hipotenusa $H$ é $\large \frac{H^2}{4}$, resultando em uma área de $\large \frac{(3r)^2}{4} = \frac{9r^2}{4}$.
Igualando a área das duas figuras idênticas, temos a equação:$$\frac{9r^2}{4} = 90$$$$9r^2 = 360$$$$r^2 = \boxed{40}$$Como $r^2$ representa matematicamente a área da figura, a área do quadrado com a letra ${R}$ é $\boxed{40}$.
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