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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 26 • Álgebra
Um comerciante pesa seus produtos usando uma antiga balança com pesos cujos valores, em kg, são números inteiros de 1 a 12. Curiosamente, numa manhã, ele usou todos os pesos uma única vez, cada um, para fazer três pesagens diferentes, usando 4 pesos em cada pesagem. Na primeira pesagem, a mercadoria tinha 41 kg, e na segunda pesagem a mercadoria tinha 26 kg. Qual dos pesos a seguir estava na mesma pesagem que o peso de 9 kg?
A 3 kg
B 5 kg
C 7 kg
D 8 kg
E 10 kg
Resolução
Primeiramente, precisamos saber o peso total de todos os 12 pesos da balança somados. Calculando a soma dos números inteiros de 1 a 12, chegamos ao valor de 78 kg. Como sabemos que a primeira pesagem resultou em 41 kg e a segunda em 26 kg, isso nos deixa com um montante de 67 kg já utilizados nas duas primeiras etapas. Por dedução matemática simples, a terceira pesagem abrigará as quatro peças restantes que, juntas, precisam somar exatamente 11 kg.
Agora vamos descobrir quais pesos compõem esses grupos de valores extremos. Para a primeira pesagem alcançar o alto valor de 41 kg com apenas 4 peças, precisamos obrigatoriamente usar os pesos mais pesados disponíveis. A soma dos quatro maiores possíveis (12, 11, 10 e 9) resulta em 42 kg; logo, basta trocar o 9 pelo 8 para atingirmos o alvo de 41 kg, formando o primeiro grupo com 8, 10, 11 e 12. Na ponta oposta, para a terceira pesagem somar apenas 11 kg, precisamos dos pesos mais leves do conjunto, que são 1, 2, 3 e 5.
Com os dois grupos extremos definidos e isolados, sobram apenas quatro pesos na bancada para formar a segunda pesagem, que exige um total de 26 kg. Os pesos que não foram utilizados nas etapas anteriores são exatamente os de 4, 6, 7 e 9. Se somarmos esses quatro valores, confirmamos que o resultado bate perfeitamente com os 26 kg exigidos pelo problema. Portanto, os pesos que estavam na mesma pesagem junto com a peça de 9 kg são os de 4 kg, 6 kg e $\boxed{\text{7 kg}}$ (o único listado nas alternativas).
Agora vamos descobrir quais pesos compõem esses grupos de valores extremos. Para a primeira pesagem alcançar o alto valor de 41 kg com apenas 4 peças, precisamos obrigatoriamente usar os pesos mais pesados disponíveis. A soma dos quatro maiores possíveis (12, 11, 10 e 9) resulta em 42 kg; logo, basta trocar o 9 pelo 8 para atingirmos o alvo de 41 kg, formando o primeiro grupo com 8, 10, 11 e 12. Na ponta oposta, para a terceira pesagem somar apenas 11 kg, precisamos dos pesos mais leves do conjunto, que são 1, 2, 3 e 5.
Com os dois grupos extremos definidos e isolados, sobram apenas quatro pesos na bancada para formar a segunda pesagem, que exige um total de 26 kg. Os pesos que não foram utilizados nas etapas anteriores são exatamente os de 4, 6, 7 e 9. Se somarmos esses quatro valores, confirmamos que o resultado bate perfeitamente com os 26 kg exigidos pelo problema. Portanto, os pesos que estavam na mesma pesagem junto com a peça de 9 kg são os de 4 kg, 6 kg e $\boxed{\text{7 kg}}$ (o único listado nas alternativas).
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