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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 28 • Aritmética
O número inteiro positivo N tem o produto dos seus algarismos igual a 20. Qual dos números a seguir NÃO pode ser o produto dos algarismos do número N + 1?
A 40
B 30
C 25
D 35
E 24
Resolução
Analisemos os possíveis conjuntos de algarismos cujo produto é 20, sendo eles formados pelos fatores primos 2, 2 e 5 (ou 4 e 5). Assim, o número N pode ser composto por algarismos como 4 e 5, ou 2, 2 e 5, além da inclusão de algarismos 1 que não alteram o produto total. Analisando algumas possibilidades para N e calculando o produto dos algarismos de N + 1, podemos verificar quais alternativas são possíveis.
Se N for igual a 45, temos N + 1 = 46, cujo produto dos algarismos é 4 ⋅ 6 = 24, tornando a alternativa (E) possível. Se N for 54, N + 1 = 55, com produto 5 ⋅ 5 = 25, validando a alternativa (C). Para N = 522, temos N + 1 = 523, com produto 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30, validando a (B). Já para N = 451, temos N + 1 = 452, com produto 4 ⋅ 5 ⋅ 2 = 40, o que valida a alternativa (A).
A única alternativa que não pode ser alcançada é a 35, pois para obter esse produto, o número N + 1 precisaria obrigatoriamente conter o algarismo 7 como fator (já que 35 = 5 ⋅ 7). Como o produto dos algarismos de N é 20 (cujos fatores primos são apenas 2 e 5), o número N não pode conter o algarismo 7. Portanto, a resposta correta (o número que NÃO pode ser o produto dos algarismos do número N + 1) é a $\boxed{\text{alternativa (D) 35}}$.
Se N for igual a 45, temos N + 1 = 46, cujo produto dos algarismos é 4 ⋅ 6 = 24, tornando a alternativa (E) possível. Se N for 54, N + 1 = 55, com produto 5 ⋅ 5 = 25, validando a alternativa (C). Para N = 522, temos N + 1 = 523, com produto 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30, validando a (B). Já para N = 451, temos N + 1 = 452, com produto 4 ⋅ 5 ⋅ 2 = 40, o que valida a alternativa (A).
A única alternativa que não pode ser alcançada é a 35, pois para obter esse produto, o número N + 1 precisaria obrigatoriamente conter o algarismo 7 como fator (já que 35 = 5 ⋅ 7). Como o produto dos algarismos de N é 20 (cujos fatores primos são apenas 2 e 5), o número N não pode conter o algarismo 7. Portanto, a resposta correta (o número que NÃO pode ser o produto dos algarismos do número N + 1) é a $\boxed{\text{alternativa (D) 35}}$.
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