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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 29 • Geometria
Cinco círculos com centros A, B, C, D e E são tangentes, como mostra a figura. Sendo AB = 16, BC = 14, CD = 17, DE = 13 e AE = 14, qual ponto é o centro do maior círculo? 
A A
B B
C C
D D
E E
Resolução
Como os círculos são tangentes externamente, a distância entre dois centros adjacentes é exatamente a soma dos seus raios. Chamando os raios de $r_A, r_B, r_C, r_D$ e $r_E$, formamos o seguinte sistema de equações com os dados fornecidos no enunciado: $r_A + r_B = 16$$, r_B + r_C = 14$$, r_C + r_D = 17$$, r_D + r_E = 13$$, r_E + r_A = 14$.
Ao somarmos todas essas cinco equações, cada raio é contado exatamente duas vezes:$$2(r_A + r_B + r_C + r_D + r_E) = 16 + 14 + 17 + 13 + 14 = 74$$Dividindo por 2, descobrimos que a soma de todos os cinco raios é 37.Para descobrir o valor individual de qualquer raio, basta pegarmos essa soma total (37) e subtrairmos os pares de centros que não o incluem:
$r_A = 37 - (r_B + r_C) - (r_D + r_E) \rightarrow 37 - 14 - 13 =$ $10$
Ao somarmos todas essas cinco equações, cada raio é contado exatamente duas vezes:$$2(r_A + r_B + r_C + r_D + r_E) = 16 + 14 + 17 + 13 + 14 = 74$$Dividindo por 2, descobrimos que a soma de todos os cinco raios é 37.Para descobrir o valor individual de qualquer raio, basta pegarmos essa soma total (37) e subtrairmos os pares de centros que não o incluem:
$r_A = 37 - (r_B + r_C) - (r_D + r_E) \rightarrow 37 - 14 - 13 =$ $10$
$r_B = 37 - (r_C + r_D) - (r_E + r_A) \rightarrow 37 - 17 - 14 =$ $6$
$r_C = 37 - (r_D + r_E) - (r_A + r_B) \rightarrow 37 - 13 - 16 =$ $8$$r_D = 37 - (r_E + r_A) - (r_B + r_C) \rightarrow 37 - 14 - 14 =$ $9$
$r_E = 37 - (r_A + r_B) - (r_C + r_D) \rightarrow 37 - 16 - 17 =$ $4$
Comparando os resultados, o maior valor encontrado é 10. Portanto, o centro do maior círculo é o ponto $\boxed{\text{A}}$.
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