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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 29 • Combinatória
Cristina tem 8 moedas que pesam, em gramas, números inteiros positivos diferentes. Quando ela coloca 2 moedas quaisquer em um prato de uma balança e outras 2 quaisquer no outro prato, o prato que contém a moeda mais pesada dessas 4 moedas indica um peso maior. No mínimo, quanto pesa a moeda mais pesada?
A 8 g
B 12 g
C 34 g
D 128 g
E 256 g
Resolução
Sejam os pesos das moedas em ordem crescente $w_1 < w_2 < w_3 < w_4 < w_5 < w_6 < w_7 < w_8$. Para quaisquer 4 moedas com pesos $A < B < C < D$, a condição do problema exige que o prato com a mais pesada vença sempre, ou seja, $D + A > B + C$. A restrição mais severa para minimizar cada novo termo ocorre ao testar a moeda mais leve ($w_1$) contra as duas maiores anteriores, gerando a relação $w_l \ge w_{l-1} + w_{l-2} - w_1 + 1$.
Iniciando com os menores inteiros positivos distintos possíveis, definimos $w_1 = 1$, $w_2 = 2$ e $w_3 = 3$. Seguindo a fórmula para os termos seguintes de forma a minimizar a sequência, obtemos: $w_4 = 5$, $w_5 = 8$, $w_6 = 13$, $w_7 = 21$ e $w_8 = \boxed{34}$. Como essa construção dita o crescimento mínimo e segue a sequência de Fibonacci, o peso mínimo da moeda mais pesada é $\boxed{\text{34 gramas}}$.
Iniciando com os menores inteiros positivos distintos possíveis, definimos $w_1 = 1$, $w_2 = 2$ e $w_3 = 3$. Seguindo a fórmula para os termos seguintes de forma a minimizar a sequência, obtemos: $w_4 = 5$, $w_5 = 8$, $w_6 = 13$, $w_7 = 21$ e $w_8 = \boxed{34}$. Como essa construção dita o crescimento mínimo e segue a sequência de Fibonacci, o peso mínimo da moeda mais pesada é $\boxed{\text{34 gramas}}$.
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