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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 28 • Combinatória
Quantos números positivos de 5 dígitos têm 1000 como o produto desses dígitos?
A 10
B 20
C 30
D 40
E 60
Resolução
Para encontrar a quantidade de números de 5 dígitos cuja multiplicação dos algarismos é 1000, começamos fatorando o número 1000 em seus fatores primos, o que nos dá $1000 = 2^3 ⋅ 5^3$. Como buscamos 5 dígitos (de 1 a 9) e já temos três fatores iguais a 5, obrigatoriamente três dos dígitos do nosso número devem ser o algarismo 5, pois nenhum outro dígito menor que 10 pode ser múltiplo de 5.
Com os três algarismos 5 já definidos, restam dois dígitos para serem preenchidos usando os fatores primos restantes, que são $2^3 = 8$, ou algarismos extras iguais a 1 (que não alteram o produto). As únicas combinações possíveis de dois dígitos cuja multiplicação seja 8 são os pares (1, 8) ou (2, 4). Portanto, os nossos números de 5 dígitos serão compostos pelas seguintes escolhas de algarismos: três 5, um 1 e um 8; ou três 5, um 2 e um 4.
Agora, calculamos quantas formas diferentes podemos organizar esses algarismos usando permutação com repetição. Para o primeiro grupo {5, 5, 5, 1, 8}, temos um total de 5 elementos com o 5 se repetindo 3 vezes, o que resulta em ${\large\frac{5!}{3!}} = 20$ arranjos. Para o segundo grupo {5, 5, 5, 2, 4}, o cálculo é exatamente o mesmo, gerando mais 20 possibilidades. Somando os dois casos, concluímos que existem $\boxed{40}$ números positivos com essa propriedade.
Com os três algarismos 5 já definidos, restam dois dígitos para serem preenchidos usando os fatores primos restantes, que são $2^3 = 8$, ou algarismos extras iguais a 1 (que não alteram o produto). As únicas combinações possíveis de dois dígitos cuja multiplicação seja 8 são os pares (1, 8) ou (2, 4). Portanto, os nossos números de 5 dígitos serão compostos pelas seguintes escolhas de algarismos: três 5, um 1 e um 8; ou três 5, um 2 e um 4.
Agora, calculamos quantas formas diferentes podemos organizar esses algarismos usando permutação com repetição. Para o primeiro grupo {5, 5, 5, 1, 8}, temos um total de 5 elementos com o 5 se repetindo 3 vezes, o que resulta em ${\large\frac{5!}{3!}} = 20$ arranjos. Para o segundo grupo {5, 5, 5, 2, 4}, o cálculo é exatamente o mesmo, gerando mais 20 possibilidades. Somando os dois casos, concluímos que existem $\boxed{40}$ números positivos com essa propriedade.
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