Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 27 • Geometria
As medidas das diagonais dos quadrados ABCD e EFGB são 7 cm e 10 cm, respectivamente. O ponto P é a intersecção das diagonais do quadrado ABCD. Qual é a área do triângulo FPD? 
A $14,5 cm^{2}$
B $15 cm^{2}$
C $15,75 cm^{2}$
D $16,5 cm^{2}$
E $17,5 cm^{2}$
Resolução
• Base do triângulo (DP): Os pontos D, P e B estão alinhados, formando a diagonal do quadrado menor ABCD. Como o ponto P é o centro do quadrado (intersecção de suas diagonais), o segmento DP corresponde exatamente à metade dessa diagonal. Logo, a base do triângulo mede 3,5 cm (metade de 7 cm).
• Altura do triângulo (FB): Considerando as orientações dos quadrados, a diagonal FB (do quadrado maior EFGB) e a diagonal DB (do quadrado menor ABCD) formam ângulos de 45 graus com os lados e são perpendiculares entre si. Por formarem um ângulo de 90 graus, o segmento FB serve como a altura exata do triângulo em relação ao prolongamento da base DP. O enunciado informa que essa diagonal FB mede 10 cm.
• Cálculo da área: Com a base e a altura identificadas, basta aplicar a fórmula clássica da área do triângulo (base multiplicada pela altura, dividida por 2).
Área = ($3,5$ ⋅ $10$) / $2$ = $17,5$. Portanto, a área do triângulo FPD é de $\boxed{17,5 \text{ cm}²}$.
• Altura do triângulo (FB): Considerando as orientações dos quadrados, a diagonal FB (do quadrado maior EFGB) e a diagonal DB (do quadrado menor ABCD) formam ângulos de 45 graus com os lados e são perpendiculares entre si. Por formarem um ângulo de 90 graus, o segmento FB serve como a altura exata do triângulo em relação ao prolongamento da base DP. O enunciado informa que essa diagonal FB mede 10 cm.
• Cálculo da área: Com a base e a altura identificadas, basta aplicar a fórmula clássica da área do triângulo (base multiplicada pela altura, dividida por 2).
Área = ($3,5$ ⋅ $10$) / $2$ = $17,5$. Portanto, a área do triângulo FPD é de $\boxed{17,5 \text{ cm}²}$.
MateBásica