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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 25 • Geometria
Na figura, o quadrado menor tem área 16 cm2 e o triângulo cinza tem área 1 cm2. Qual é a área do quadrado maior, em cm2? 
A 17
B 18
C 19
D 20
E 21
Resolução
Seja $a$ o lado do quadrado menor. Como a sua área é $16 \text{ cm}^2$, temos $a^2 = 16$. Ao analisarmos a inclinação do quadrado maior, vemos que ele corta a lateral direita do quadrado menor criando um pequeno segmento vertical de comprimento $y$. Por simetria e rotação geométrica de 90°, o triângulo cinza no topo possui uma base horizontal de comprimento $y$ e uma altura vertical que também mede $y$.
A área desse triângulo cinza é dada por $\large \frac{y^2}{2}$. Como o problema afirma que essa área vale $1$ $cm^2$, igualamos os valores para obter a equação $\large \frac{y^2}{2} = 1$, o que nos dá $y^2 = 2$.
Pelo Teorema de Pitágoras, a área do quadrado maior é exatamente igual à soma dos quadrados dos catetos do triângulo retângulo formado na base da figura, ou seja, $a^2 + y^2$. Substituindo os valores que encontramos, temos $16 + 2 = \boxed{18}$. Portanto, a área do quadrado maior é $\boxed{18 \text{ cm}^2}$.
A área desse triângulo cinza é dada por $\large \frac{y^2}{2}$. Como o problema afirma que essa área vale $1$ $cm^2$, igualamos os valores para obter a equação $\large \frac{y^2}{2} = 1$, o que nos dá $y^2 = 2$.
Pelo Teorema de Pitágoras, a área do quadrado maior é exatamente igual à soma dos quadrados dos catetos do triângulo retângulo formado na base da figura, ou seja, $a^2 + y^2$. Substituindo os valores que encontramos, temos $16 + 2 = \boxed{18}$. Portanto, a área do quadrado maior é $\boxed{18 \text{ cm}^2}$.
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