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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 24 • Combinatória
3 meninos brincam com o jogo Word. Eles escreveram 10 palavras cada um. Cada participante ganha 3 pontos por palavra quando somente ele a escreveu, ganha 1 ponto se apenas mais um menino a escreveu e não ganha nada se os outros 2 meninos também a escreveram. Quando foram conferir seus pontos, viram que não havia resultados iguais. Samuel fez 19 pontos, o menor resultado. Jacinto foi o vencedor. Quantos pontos fez Jacinto?
A 20
B 21
C 23
D 24
E 25
Resolução
Para descobrir a pontuação do vencedor, vamos analisar o jogo por meio de equações. Como cada menino escreveu 10 palavras, temos $x + y + z = 10$, onde $x$ são as palavras exclusivas (3 pontos), $y$ as em dupla (1 ponto) e $z$ as em comum com todos (0 pontos). A pontuação é dada por $3x + y$. Como Samuel fez 19 pontos (o menor resultado), testamos as combinações e a única matematicamente viável para que todos tenham mais de 19 pontos é $x = 5$, $y = 4$ e $z = 1$.
Sabendo que $z = 1$ é fixo para todos, restam 9 palavras para cada um. Como Samuel tem $y = 4$ palavras compartilhadas em dupla, ele divide essas palavras com os outros dois participantes. Para que não haja empates e as notas superem 19, a única distribuição possível é Samuel dividir 3 palavras com um menino (que terá $x = 6, y = 3$, somando 21 pontos) e 1 palavra com Jacinto. Isso deixa Jacinto com $y = 1$ e $x = 8$, resultando em $3 \cdot 8 + 1 = \boxed{25}$. Portanto, Jacinto fez $\boxed{\text{25 pontos}}$.
Sabendo que $z = 1$ é fixo para todos, restam 9 palavras para cada um. Como Samuel tem $y = 4$ palavras compartilhadas em dupla, ele divide essas palavras com os outros dois participantes. Para que não haja empates e as notas superem 19, a única distribuição possível é Samuel dividir 3 palavras com um menino (que terá $x = 6, y = 3$, somando 21 pontos) e 1 palavra com Jacinto. Isso deixa Jacinto com $y = 1$ e $x = 8$, resultando em $3 \cdot 8 + 1 = \boxed{25}$. Portanto, Jacinto fez $\boxed{\text{25 pontos}}$.
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