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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 22 • Álgebra
Oito times de futebol participaram de um campeonato. Cada time jogou exatamente uma vez contra os outros times. Em cada partida, o vencedor ganhou 3 pontos e o perdedor nada obteve. Em caso de empate, cada time ganhou 1 ponto. Ao final do campeonato, a soma de todos os pontos obtidos pelos times foi 61. Qual é o maior número possível de pontos que o campeão pode ter conquistado?
A 21
B 19
C 18
D 17
E 16
Resolução
Para descobrir o total de partidas do campeonato, calculamos as combinações de 8 times jogando entre si, o que resulta na expressão ${\large \frac{8 \times 7}{2}} = 28$ jogos. Em cada partida que termina com um vencedor, são distribuídos 3 pontos para a tabela geral. Já em um cenário de empate, cada time ganha 1 ponto, somando apenas 2 pontos distribuídos no total daquele jogo.
Se todas as 28 partidas tivessem terminado em empate, a soma de pontos de todos os times ao final do campeonato seria 56. Como o problema afirma que a soma real foi 61, a diferença de 5 pontos vem exatamente das partidas que não terminaram empatadas, já que elas entregam 1 ponto a mais para a soma global. Com isso, concluímos com segurança que ocorreram exatamente 5 vitórias e 23 empates em todo o torneio.
Para maximizar a pontuação do campeão, assumimos que ele foi o responsável por conquistar todas essas 5 vitórias do campeonato. Como cada time joga 7 vezes contra os adversários, os 2 jogos restantes desse campeão foram obrigatoriamente empates. Calculando a pontuação máxima, somamos 15 pontos das vitórias com 2 pontos dos empates. Portanto, o maior número de pontos que o time pode ter alcançado é $\boxed{17}$.
Se todas as 28 partidas tivessem terminado em empate, a soma de pontos de todos os times ao final do campeonato seria 56. Como o problema afirma que a soma real foi 61, a diferença de 5 pontos vem exatamente das partidas que não terminaram empatadas, já que elas entregam 1 ponto a mais para a soma global. Com isso, concluímos com segurança que ocorreram exatamente 5 vitórias e 23 empates em todo o torneio.
Para maximizar a pontuação do campeão, assumimos que ele foi o responsável por conquistar todas essas 5 vitórias do campeonato. Como cada time joga 7 vezes contra os adversários, os 2 jogos restantes desse campeão foram obrigatoriamente empates. Calculando a pontuação máxima, somamos 15 pontos das vitórias com 2 pontos dos empates. Portanto, o maior número de pontos que o time pode ter alcançado é $\boxed{17}$.
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