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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 22 • Álgebra
Os números a, b e c satisfazem a + b + c = 0 e abc = 78. Qual é o valor de (a + b)(b + c)(c + a)?
A -156
B -78
C -39
D 78
E 156
Resolução
A partir da equação inicial $a+b+c=0$, podemos isolar a soma de cada par de variáveis. Movendo uma variável por vez para o outro lado da igualdade, obtemos as seguintes relações algébricas: $a+b=-c$, $b+c=-a$ e $c+a=-b$.
Substituindo essas equivalências na expressão que desejamos calcular, a forma original $(a+b)(b+c)(c+a)$ se transforma no produto $(-c)(-a)(-b)$. Ao multiplicar esses três termos, a regra de sinais nos diz que negativo com negativo dá positivo, e multiplicado por um terceiro negativo, volta a ser negativo, resultando em $-abc$.
Como o problema estabelece previamente que o produto $abc=78$, basta aplicar esse valor numérico na nossa dedução final. Assim, ao substituir a variável, chegamos facilmente à conclusão de que a resposta procurada é $\boxed{-78}$.
Substituindo essas equivalências na expressão que desejamos calcular, a forma original $(a+b)(b+c)(c+a)$ se transforma no produto $(-c)(-a)(-b)$. Ao multiplicar esses três termos, a regra de sinais nos diz que negativo com negativo dá positivo, e multiplicado por um terceiro negativo, volta a ser negativo, resultando em $-abc$.
Como o problema estabelece previamente que o produto $abc=78$, basta aplicar esse valor numérico na nossa dedução final. Assim, ao substituir a variável, chegamos facilmente à conclusão de que a resposta procurada é $\boxed{-78}$.
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