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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 20 • Combinatória
Verônica tem cinco anéis em seus dedos, de acordo com a figura. Ela tira de seus dedos um anel de cada vez. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso? 
A 16
B 20
C 24
D 30
E 45
Resolução
• Dedo mindinho (ou indicador, dependendo da perspectiva da mão): 1 anel
Para retirar os anéis um de cada vez, Verônica precisa realizar um total de 5 movimentos. A restrição fundamental aqui é que os 3 anéis empilhados no mesmo dedo possuem uma ordem obrigatória de retirada: ela sempre precisará tirar o anel de cima antes de conseguir tirar o de baixo.
Portanto, o problema consiste apenas em escolher em qual ordem ela acessa cada dedo. Como o dedo com 3 anéis será acessado 3 vezes, tratamos isso como um problema de permutação com repetição (calculando os anagramas de uma sequência de 5 movimentos onde um deles se repete 3 vezes). Aplicando a fórmula da permutação com repetição:$$P_{5}^{3, 1, 1} = \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = \boxed{20}$$Verônica pode tirar os anéis de $\boxed{20}$ maneiras diferentes.
Dedo anelar (ou médio): 3 anéis
Dedo médio (ou anelar): 1 anel
Para retirar os anéis um de cada vez, Verônica precisa realizar um total de 5 movimentos. A restrição fundamental aqui é que os 3 anéis empilhados no mesmo dedo possuem uma ordem obrigatória de retirada: ela sempre precisará tirar o anel de cima antes de conseguir tirar o de baixo.
Portanto, o problema consiste apenas em escolher em qual ordem ela acessa cada dedo. Como o dedo com 3 anéis será acessado 3 vezes, tratamos isso como um problema de permutação com repetição (calculando os anagramas de uma sequência de 5 movimentos onde um deles se repete 3 vezes). Aplicando a fórmula da permutação com repetição:$$P_{5}^{3, 1, 1} = \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = \boxed{20}$$Verônica pode tirar os anéis de $\boxed{20}$ maneiras diferentes.
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