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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 19 • Combinatória
Num parque, há uma árvore no meio e três trilhas para caminhar, conforme a figura ao lado. Qual é o menor número de árvores que devem ser plantadas de forma que haja o mesmo número de árvores dos dois lados de cada uma das trilhas? 
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
Resolução
Para que haja o mesmo número de árvores dos dois lados de cada uma das três trilhas, o número total de árvores no parque deve ser par, pois elas precisam ser divididas igualmente em duas metades para qualquer caminho analisado. Como já existe 1 árvore plantada na região central, o número de árvores que precisamos adicionar deve obrigatoriamente ser um número ímpar, limitando nossas menores opções iniciais a 1, 3 ou 5 árvores.
Se tentássemos resolver o problema plantando apenas 1 árvore, ela precisaria ser colocada em uma área que ficasse do lado oposto da árvore central em relação a todas as três trilhas simultaneamente. Porém, as três trilhas se cruzam formando um triângulo no meio e dividem o parque em exatamente 7 regiões. A oitava região geométrica, que seria completamente oposta a todos os três caminhos ao mesmo tempo, simplesmente não existe neste desenho.
Como é impossível equilibrar plantando apenas 1, passamos para o próximo número ímpar possível, que é 3. Se plantarmos uma árvore em cada uma das três regiões que compartilham apenas um vértice com o triângulo central (as áreas de fora das pontas do triângulo), o balanço ocorre perfeitamente. Assim, qualquer trilha que você escolher terá exatamente 2 árvores de um lado e 2 do outro, fazendo com que $\boxed{3}$ seja a resposta correta.
Se tentássemos resolver o problema plantando apenas 1 árvore, ela precisaria ser colocada em uma área que ficasse do lado oposto da árvore central em relação a todas as três trilhas simultaneamente. Porém, as três trilhas se cruzam formando um triângulo no meio e dividem o parque em exatamente 7 regiões. A oitava região geométrica, que seria completamente oposta a todos os três caminhos ao mesmo tempo, simplesmente não existe neste desenho.
Como é impossível equilibrar plantando apenas 1, passamos para o próximo número ímpar possível, que é 3. Se plantarmos uma árvore em cada uma das três regiões que compartilham apenas um vértice com o triângulo central (as áreas de fora das pontas do triângulo), o balanço ocorre perfeitamente. Assim, qualquer trilha que você escolher terá exatamente 2 árvores de um lado e 2 do outro, fazendo com que $\boxed{3}$ seja a resposta correta.
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