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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 18 • Geometria
Na figura, o quadrado PQRS tem lados de medida 1. O ponto médio do lado RS é U e o centro do quadrado é o ponto W. Os segmentos de reta TW, UW e VW dividem o quadrado em três regiões de mesma área. Qual é a medida do segmento SV? 
A $\frac{1}{2}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{3}{4}$
D $\frac{4}{5}$
E $\frac{5}{6}$
Resolução
Para determinar a medida do segmento $SV$, podemos analisar a área do quadrilátero $VSUW$, que é uma das três regiões formadas. Como a área total do quadrado de lado 1 é igual a 1, cada uma dessas divisões deve ter exatamente um terço da área total, ou seja, $\large \frac{1}{3}$. Podemos separar o quadrilátero $VSUW$ em dois triângulos menores imaginando uma reta do centro $W$ até o vértice $S$: formando assim o triângulo $VSW$ e o triângulo $USW$.
O triângulo $USW$ tem como base o segmento $SU$, que mede $\large \frac{1}{2}$ (pois $U$ é o ponto médio do lado $RS$), e sua altura em relação ao centro $W$ também é $\large \frac{1}{2}$. A área desse triângulo é calculada por base vezes altura sobre dois, resultando em $\large \frac{1}{8}$. Já o triângulo $VSW$ tem como base o segmento $SV$ (nossa incógnita) e altura de $\large \frac{1}{2}$ em relação ao centro $W$. Sua área é representada por $\large \frac{SV \cdot \frac{1}{2}}{2}$, o que simplifica para $\large \frac{SV}{4}$.
Somando as áreas desses dois triângulos, temos a área total daquela região, que sabemos ser $\large \frac{1}{3}$. Assim, montamos a equação $\large \frac{SV}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{3}$. Isolando a fração com a nossa incógnita, obtemos $\large \frac{SV}{4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{8}$. Resolvendo a subtração das frações por meio do mínimo múltiplo comum, encontramos $\large \frac{SV}{4} = \frac{5}{24}$. Por fim, multiplicando ambos os lados por 4, concluímos logicamente que o segmento $SV$ mede $\boxed{\frac{5}{6}}$.
O triângulo $USW$ tem como base o segmento $SU$, que mede $\large \frac{1}{2}$ (pois $U$ é o ponto médio do lado $RS$), e sua altura em relação ao centro $W$ também é $\large \frac{1}{2}$. A área desse triângulo é calculada por base vezes altura sobre dois, resultando em $\large \frac{1}{8}$. Já o triângulo $VSW$ tem como base o segmento $SV$ (nossa incógnita) e altura de $\large \frac{1}{2}$ em relação ao centro $W$. Sua área é representada por $\large \frac{SV \cdot \frac{1}{2}}{2}$, o que simplifica para $\large \frac{SV}{4}$.
Somando as áreas desses dois triângulos, temos a área total daquela região, que sabemos ser $\large \frac{1}{3}$. Assim, montamos a equação $\large \frac{SV}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{3}$. Isolando a fração com a nossa incógnita, obtemos $\large \frac{SV}{4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{8}$. Resolvendo a subtração das frações por meio do mínimo múltiplo comum, encontramos $\large \frac{SV}{4} = \frac{5}{24}$. Por fim, multiplicando ambos os lados por 4, concluímos logicamente que o segmento $SV$ mede $\boxed{\frac{5}{6}}$.
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