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CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 18 • Álgebra
Inicialmente, um quadrado 3 x 3 tem o número 0 escrito em cada uma de suas casas. A cada operação, todos os números de algum subquadrado 2 x 2, como o quadrado cinza da figura, por exemplo, são aumentados de 1. Essa operação é repetida várias vezes até se chegar à situação descrita na figura à direita. Nela, alguns números estão escondidos. Qual número está escrito na casa com o ponto de interrogação? 
A 14
B 15
C 16
D 17
E 19
Resolução
Vamos chamar de $A, B, C, D$ o número de vezes que aplicamos a operação nos quatro subquadrados $2 ⋅ 2$ possíveis (canto superior esquerdo, superior direito, inferior esquerdo e inferior direito, respectivamente). O valor de cada casa é a soma das operações que a cobrem. Assim, o valor $18$ na posição central superior é $A + B$, e o valor $47$ no centro é $A + B + C + D$.
Sabemos que o valor $13$ no canto inferior esquerdo é igual a $C$, pois apenas o subquadrado inferior esquerdo cobre essa casa. Com $C = 13$ e $A + B + C + D = 47$, temos $A + B + D = 34$. Como $A + B = 18$, descobrimos que $D = 34 - 18 = 16$.
A casa com o ponto de interrogação é o canto inferior direito, que é coberta apenas pelo subquadrado inferior direito, logo, seu valor é igual a $D$. Como calculamos que $D = \boxed{16}$, o número no ponto de interrogação é $\boxed{16}$.
Sabemos que o valor $13$ no canto inferior esquerdo é igual a $C$, pois apenas o subquadrado inferior esquerdo cobre essa casa. Com $C = 13$ e $A + B + C + D = 47$, temos $A + B + D = 34$. Como $A + B = 18$, descobrimos que $D = 34 - 18 = 16$.
A casa com o ponto de interrogação é o canto inferior direito, que é coberta apenas pelo subquadrado inferior direito, logo, seu valor é igual a $D$. Como calculamos que $D = \boxed{16}$, o número no ponto de interrogação é $\boxed{16}$.
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