CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)

Para resolvermos esse problema, vamos nomear os pontos principais para facilitar: o centro do semicírculo será $O$, a ponta direita do diâmetro $B$, a ponta esquerda $A$, o vértice do ângulo reto $C$ e o vértice com o ângulo de 32° será $D$. O triângulo $OBC$ é isósceles, pois os segmentos $OB$ e $OC$ são raios do círculo. Como o ângulo em $B$ mede 67°, o ângulo $\angle$ OCB também mede 67°. O problema indica através do ponto que o ângulo total $\angle ACB$ é um ângulo reto (90°). Portanto, o ângulo entre a corda $AC$ e o raio $OC$ é a diferença $\angle ACO = 90° - 67° = 23°$.

Agora, analisamos o triângulo $ODC$. Ele também é isósceles, já que os segmentos $OD$ e $OC$ possuem a exata mesma medida do raio. Sabendo pela imagem que o ângulo $ODC$ mede 32°, concluímos que o ângulo $\angle OCD$ (que compreende todo o espaço do raio $OC$ até a corda $DC$) obrigatoriamente também medirá 32°.

Observando a figura, o ângulo α está posicionado exatamente entre a corda $AC$ e a corda $DC$. A disposição geométrica nos mostra que o ângulo de 32° que encontramos engloba o ângulo de 23° e o próprio α. Sendo assim, para descobrir a medida desconhecida, basta calcularmos a diferença: $α = 32° - 23°$. O valor de α é $\boxed{9°}$