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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 14 • Aritmética
Eva colocou 2022 ladrilhos numa reta. Em seguida, Adão retirou os ladrilhos nas 6ª, 12ª, 18ª etc. posições. Dos que restaram, Beatriz removeu os que estavam nas 5ª, 10ª, 15ª etc. posições. Então Célia retirou dos que sobraram os que estavam nas 4ª, 8ª, 12ª etc. posições. Finalmente Dóris retirou todos os ladrilhos que sobraram. Quantos Dóris retirou?
A 0
B 337
C 674
D 1011
E 1348
Resolução
Como o número total de 2022 ladrilhos é divisível por 6, podemos analisar o que acontece em cada grupo repetitivo de 6 ladrilhos consecutivos. Adão começa retirando o 6° ladrilho de cada grupo, o que deixa exatamente 5 ladrilhos restantes em cada bloco.
Desses 5 restantes, Beatriz retira o 5° elemento, que corresponde ao ladrilho de posição original 5, deixando 4 sobreviventes. Logo depois, Célia retira o 4° elemento dos que sobraram, que é o de posição original 4. Com isso, restam apenas os ladrilhos de posições originais 1, 2 e 3 em cada grupo de 6.
Como restam exatamente 3 de cada 6 ladrilhos originais, concluímos que metade de todo o conjunto sobreviveu a essas três primeiras rodadas de remoções. Como Dóris retira todos os ladrilhos que sobraram, ela pega exatamente essa metade, o que resulta em ${\large \frac{2022}{2}} = \boxed{\text{1011 ladrilhos}}$.
Desses 5 restantes, Beatriz retira o 5° elemento, que corresponde ao ladrilho de posição original 5, deixando 4 sobreviventes. Logo depois, Célia retira o 4° elemento dos que sobraram, que é o de posição original 4. Com isso, restam apenas os ladrilhos de posições originais 1, 2 e 3 em cada grupo de 6.
Como restam exatamente 3 de cada 6 ladrilhos originais, concluímos que metade de todo o conjunto sobreviveu a essas três primeiras rodadas de remoções. Como Dóris retira todos os ladrilhos que sobraram, ela pega exatamente essa metade, o que resulta em ${\large \frac{2022}{2}} = \boxed{\text{1011 ladrilhos}}$.
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