Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2021 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 14 • Aritmética
O número 2021 tem resto 5 quando dividido pelo número 6, pelo número 7, pelo número 8 e pelo número 9. Quantos números inteiros positivos menores do que 2021 têm essa propriedade?
A 4
B 3
C 2
D 1
E nenhum
Resolução
Para resolvermos esse problema, precisamos entender que se um número deixa resto 5 ao ser dividido por 6, 7, 8 e 9, então, se subtrairmos 5 desse número, ele se tornará perfeitamente divisível por todos eles. Isso significa que o nosso número misterioso, menos 5, é um múltiplo comum desses quatro divisores. Para encontrar a base dessa repetição, calculamos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 6, 7, 8 e 9, que é igual a $504$. Portanto, qualquer número com a propriedade exigida pode ser escrito na forma geral $504k + 5$, onde $k$ é um número inteiro natural.
A questão pede a quantidade de números inteiros positivos com essa propriedade que sejam estritamente menores do que 2021. Para descobrir isso, montamos a seguinte desigualdade: $504k + 5 < 2021$. Subtraindo o 5 de ambos os lados, obtemos $504k < 2016$. Ao passar o 504 dividindo, verificamos que $2016 \div 504 = 4$, o que nos leva à conclusão de que $k < 4$.
Como procuramos resultados positivos para o número final, testamos os valores inteiros de $k$ começando do zero. Se $k = 0$, temos o número $5$. Se $k = 1$, temos $509$. Se $k = 2$, temos $1013$. E se $k = 3$, obtemos $1517$. O próximo valor seria $k = 4$, que resulta exatamente em $2021$, mas ele é descartado pois precisamos de valores menores do que ele. Assim, contando as opções válidas, concluímos que existem $\boxed{4}$ números inteiros positivos com essa propriedade.
A questão pede a quantidade de números inteiros positivos com essa propriedade que sejam estritamente menores do que 2021. Para descobrir isso, montamos a seguinte desigualdade: $504k + 5 < 2021$. Subtraindo o 5 de ambos os lados, obtemos $504k < 2016$. Ao passar o 504 dividindo, verificamos que $2016 \div 504 = 4$, o que nos leva à conclusão de que $k < 4$.
Como procuramos resultados positivos para o número final, testamos os valores inteiros de $k$ começando do zero. Se $k = 0$, temos o número $5$. Se $k = 1$, temos $509$. Se $k = 2$, temos $1013$. E se $k = 3$, obtemos $1517$. O próximo valor seria $k = 4$, que resulta exatamente em $2021$, mas ele é descartado pois precisamos de valores menores do que ele. Assim, contando as opções válidas, concluímos que existem $\boxed{4}$ números inteiros positivos com essa propriedade.
MateBásica