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CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
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Questão 12 • Combinatória
Ápia quer ir do hexágono X para o hexágono Y. Ela pode passar de um hexágono para outro somente se eles têm um lado em comum. Existem quantos caminhos diferentes de X a Y que passam por cada um dos sete hexágonos brancos exatamente uma vez? 
A 2
B 3
C 4
D 5
E 6
Resolução
Para que Ápia passe por todos os 7 hexágonos brancos exatamente uma vez saindo de $X$ e chegando em $Y$, ela deve percorrer o anel externo (formado por 6 hexágonos) e fazer um único desvio obrigatório para visitar o hexágono central. Qualquer outro padrão a deixaria presa ou forçaria uma repetição.
Sendo assim, a rota de Ápia exige que ela caminhe sequencialmente pelos hexágonos da borda. Um percurso contínuo ligando esses 6 hexágonos externos possui exatamente 5 'passos' (ou transições) diretas entre eles. Ela pode escolher fazer o desvio para o hexágono central em qualquer um desses 5 momentos de transição (interrompendo o passo na borda, indo ao centro e voltando para o próximo hexágono da sequência). Como há 5 pontos de inserção únicos para visitar o centro durante a rota, existem exatamente $\boxed{5}$ caminhos diferentes.
Sendo assim, a rota de Ápia exige que ela caminhe sequencialmente pelos hexágonos da borda. Um percurso contínuo ligando esses 6 hexágonos externos possui exatamente 5 'passos' (ou transições) diretas entre eles. Ela pode escolher fazer o desvio para o hexágono central em qualquer um desses 5 momentos de transição (interrompendo o passo na borda, indo ao centro e voltando para o próximo hexágono da sequência). Como há 5 pontos de inserção únicos para visitar o centro durante a rota, existem exatamente $\boxed{5}$ caminhos diferentes.
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