Voltar para Materiais
CANGURU DE MATEMÁTICA 2022 | Nível J (Júnior)
MateBásica
Navegue pelas questões
Questão 11 • Geometria
A figura compõe-se de três círculos grandes de raios iguais e quatro círculos menores de raios iguais a 1. Todos os centros dos círculos e pontos de tangência estão alinhados. Qual é a área total da região cinza? 
A $\pi$
B $2\pi$
C $3\pi$
D $4\pi$
E $6\pi$
Resolução
Para determinar a área da região cinza, podemos utilizar as simetrias das figuras. Cada círculo grande tem diâmetro igual à soma dos diâmetros de dois círculos menores. Como o raio dos círculos menores é $1$ (área $\pi \cdot 1^2 = \pi$), o raio dos círculos grandes é $2$ (área $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$).
Se cortarmos a figura pela linha horizontal que passa pelos centros, cada metade de um círculo grande que não está sobreposta pelos círculos menores internos tem uma área de ${\large\frac{4\pi}{2}} - \pi = \pi$.
Observando o lado esquerdo da figura, a região cinza inferior externa e a região cinza superior interna se complementam perfeitamente devido à simetria em relação à interseção dos círculos grandes. Juntas, elas preenchem exatamente a área de um semicírculo grande descontado um círculo menor, totalizando uma área de $\pi$. O mesmo ocorre de maneira idêntica com o par de regiões cinzas do lado direito, que juntas também somam $\pi$.
Somando as áreas das duas partes (esquerda e direita), obtemos $\pi + \pi = \boxed{2\pi}$. Portanto, a área total da região cinza é $\boxed{2\pi}$.
Se cortarmos a figura pela linha horizontal que passa pelos centros, cada metade de um círculo grande que não está sobreposta pelos círculos menores internos tem uma área de ${\large\frac{4\pi}{2}} - \pi = \pi$.
Observando o lado esquerdo da figura, a região cinza inferior externa e a região cinza superior interna se complementam perfeitamente devido à simetria em relação à interseção dos círculos grandes. Juntas, elas preenchem exatamente a área de um semicírculo grande descontado um círculo menor, totalizando uma área de $\pi$. O mesmo ocorre de maneira idêntica com o par de regiões cinzas do lado direito, que juntas também somam $\pi$.
Somando as áreas das duas partes (esquerda e direita), obtemos $\pi + \pi = \boxed{2\pi}$. Portanto, a área total da região cinza é $\boxed{2\pi}$.
MateBásica