1. Relação entre as Áreas das Pizzas:

A área $A$ de um círculo em função do seu diâmetro $d$ é calculada por:$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$Sejam $a$ o diâmetro da pizza do professor (oposto ao ângulo $\alpha$) e $b$ e $c$ os diâmetros das pizzas dos dois amigos. Para que a área da pizza do professor seja maior do que a soma das áreas das outras duas:$$\text{Área}_{\text{professor}} > \text{Área}_{\text{amigo 1}} + \text{Área}_{\text{amigo 2}}$$$$\frac{\pi a^2}{4} > \frac{\pi b^2}{4} + \frac{\pi c^2}{4}$$Simplificando a inequação ao dividir ambos os lados por $\frac{\pi}{4}$:$$a^2 > b^2 + c^2$$2. Aplicação da Lei dos Cossenos:

No triângulo formado pelos diâmetros das pizzas, o lado $a$ está oposto ao ângulo $\alpha$. Pela Lei dos Cossenos, temos:$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$$ 3. Análise do Ângulo $\alpha$:

Substituindo a igualdade da Lei dos Cossenos na inequação obtida no primeiro passo:$$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) > b^2 + c^2$$Subtraindo $(b^2 + c^2)$ de ambos os lados:$$-2bc \cos(\alpha) > 0$$Como as medidas dos lados $b$ e $c$ são estritamente positivas ($2bc > 0$), para que o produto seja positivo, o cosseno deve ser negativo:$$\cos(\alpha) < 0$$Como $\alpha$ é um ângulo interno de um triângulo, seu valor deve estar entre $0^\circ$ e $180^\circ$. O cosseno de um ângulo nesse intervalo só é negativo no segundo quadrante, ou seja, quando o ângulo é obtuso:$$\boxed{90^\circ < \alpha < 180^\circ}$$

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